丁小平的学术思想及其启示：数学

在《前沿科学》的《浅谈现行微积分原理的错误》和《如何正确讲授微分》这两篇论文中，丁小平先生指出，现行微积分原理定义\( \Delta y = f (x) \Delta x +ο( \Delta x) \Delta x \)中的\( f(x) \Delta x \)为微分，然后通过强行定义\( \mathrm{d} x=\Delta x \)（或做单位映射），以及用特殊\( y=x \)代替一般\( y=F(x) \)，从而演绎出\( \mathrm{d} y=f(x)\mathrm{d} x \)，这一系列做法都是逻辑所不能允许的。这种方式得到的微分在复合函数的导数、微分方程的求解原理和不定积分的第二类换元法上都导致了严重的逻辑错误，而到了多元函数的微积分就更加荒唐，同时，现行微积分原理还存在结果扭曲的问题。这些错误说明这样的微积分原理是不科学的。另一方面，作为一种过渡性讲授微分的方法，丁小平先生给出了微分的新定义：\(\mathrm{d} x\)是自变量\(x\)之上的与\( \Delta x \)不发生直接关系的增量，\( \mathrm{d} y \)是\( y \)之上由\( \mathrm{d} x \)引发的不与\( \Delta y \)发生直接关系的增量，把\( \mathrm{d} y=f(x) \mathrm{d} x \)叫作\( y=F(x) \)的微分。这样的微分定义不再存在如上逻辑错误，也从反面衬托出现行微积分原理中微分的逻辑错误。

通过深入的研究，丁小平先生得出结论：之所以自1665年至今人类建立不起来科学的微积分原理，是因为人类还不懂得自为地建立整个数学所必需的数—形模型。现行数—形模型不仅残缺，而且存在严重缺陷。第一，由于无限分割思想作祟，现行数—形模型把实数变成了处于无限增长的动态体系；第二，数与形的关系不合理。极限论前提的不清晰、康托定理证明的错误、测度论的荒唐等等，无不源于此。以测度论为例，Borel和Lebesgue由于不懂得数隙和点隙的存在，错误地把超越数当作测度的数学承担者。

丁小平先生还指出，数学工作者轻视哲学是导致整个数学误入歧途的根本原因。以微积分原理为例，他说：“我们的数学工作者连什么是原理都搞不清楚，他们竟然用他们的‘微积分原理’证明微积分方法行之有效。微积分方法的行之有效早已被实践所证明，不需要理论再予以证明。人类之所以要建立微积分原理，是因为人类要破解微积分方法为什么行之有效。人类建立微积分原理的实践意义在于优化已有微积分方法和揭示更多新微积分方法。”

丁小平先生重新建立了数—形模型。在新数—形模型基础上，他建立了新的测度论和全新的微积分原理。就像药理学要进入分子水平一样，丁小平的微积分原理是数—点级水平的。数—点级水平微积分原理的建立，其最直接受益者是微分方程和微分几何两个学科。而微分几何新思想，又解决了虚位移原理长期以来不能自圆其说的问题，从而使以虚位移原理和达朗伯原理为支撑的现代力学从根本上实现了科学化。反过来说，走向科学化的现代力学又作为实践证实了新微积分原理的科学性和行之有效性。

总之，在微积分原理问题上，丁小平先生不仅系统而严密地指出现行微积分原理的错误和结构扭曲问题，而且还从数学史角度论证了前人为什么会犯这些错误，同时又给出了新建的微积分原理，继而还把作为现行微积分原理更深刻理论基础的实变函数理论中的错误加以阐明，最后再以解决长期悬而未解的虚位移原理作为应用例证。至此，应该说丁小平先生的微积分研究把该做的事都做了。另一方面，新数—形模型的建立不仅解决了微积分原理的建立问题，还必将导致数学领域发生一场革命，数学的革命又必将导致整个科学的革命。